为了介绍选择公理，陶哲轩在前面打了两个铺垫.

 

第一个铺垫是陶哲轩实分析_引理3.1.6：

若$A$是一个非空集合，则存在一个对象$x$,使得$\exists x\in A$.

该引理采用反证法：假若对于一切对象$x$,$x\not\in A$,现在要推出$A=\emptyset$,从而导致矛盾,因此假设不成立.怎样才能推出$A=\emptyset$呢？当然是严格依照集合相等的定义，要证明

$$x\in A\Leftrightarrow x\in \emptyset$$

两者皆假，当然能互推.

 

第二个铺垫是陶哲轩实分析_引理3.5.12：

设$n\geq 1$是自然数，并且对于每个自然数$1\leq i\leq n$,$X_i$都是非空集合.则$\prod_{i=1}^nX_i$是非空集合.

该引理采用数学归纳法，结合陶哲轩实分析_引理3.1.6,很容易证明.

最后便是选择公理：

设$I$是一个无限集合，并且对于每个$\alpha\in I$,$X_{\alpha}$都是非空集合，那么$\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}$也是非空集合.

 

这里涉及到了无限笛卡尔积的符号，因此我现在介绍笛卡尔积:

 

笛卡尔积分为有限笛卡尔积和无限笛卡尔积，有限笛卡尔积是无限笛卡尔积的特例,这在陶哲轩实分析_注3.5.8里曾预告过.先回顾一下有限笛卡尔积的定义：设$X_1,\cdots,X_n$是$n$个集合.笛卡尔积$\prod_{i=1}^n X_i=U$，其中

$$U\subset\{f:f\mbox{是从}\{1,\cdots,n\}\mbox{到} \bigcup_{i=1}^nX_i\mbox{的函数}\}$$$U$满足$$f\in U\Leftrightarrow \forall 1\leq i\leq n,f(i)\in X_i$$

 

下面看有限笛卡尔积是怎样直接推广到无限笛卡尔积的.$I$是一个集合，对于$I$中的每一个元素$\alpha$,都有一个集合$X_{\alpha}$与之对应.笛卡尔乘积$\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}=U$.其中$$U\subset \{f:f\mbox{是从}I\mbox{到}\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\mbox{的函数}\}$$$U$满足$$f\in U\Leftrightarrow \forall \alpha\in I,f(\alpha)\in X_{\alpha}$$这样子我们就定义完了无限笛卡尔积，我们发现$I$是有限集$\{1,\cdots,n\}$的推广.

由于无限笛卡尔积是有限笛卡尔积的直接推广，有限笛卡尔积应当是无限笛卡尔积的特例.这一点是需要验证的，即证明$I$是有限集的时候，无限笛卡尔积的定义与有限笛卡尔积是等价的.这是容易证明的.证好了兼容性之后，就万事大吉了.

 

这三个定理都有相似之处，是层层递进的关系.前面的两个定理都可以使用顺利推出，然而选择公理涉及到无限，无法用ZF公理推出，所以把它也当做一条公理，和ZF一道，被称作ZFC公理.